Corriente de pico de cortocircuito según IEC 60909 — la fórmula de kappa κ = 1,02 + 0,98·e^(−3R/X), explicada y calculada

La respuesta: ip = κ·√2·Ik″ y κ = 1,02 + 0,98·e^(−3R/X)

La IEC 60909-0 calcula la corriente de pico de cortocircuito ip — el mayor valor instantáneo de la corriente de falla, alcanzado en el primer semiciclo — a partir de la corriente de cortocircuito simétrica inicial Ik″ y de un factor de pico κ (kappa) adimensional:

ip = κ · √2 · Ik″
κ  = 1,02 + 0,98 · e^(−3·R/X)

En ASCII puro, tal como se escribe en un buscador o en una hoja de cálculo:

kappa = 1.02 + 0.98*exp(-3*R/X)
ip    = kappa*sqrt(2)*Ik''

R/X es la relación resistencia/reactancia de la impedancia equivalente de cortocircuito en el punto de falla — la suma de todo lo que hay entre la fuente y la falla, referida a la tensión de la falla. κ no depende de nada más: ni de la magnitud de la corriente ni del nivel de tensión.

Por qué el pico importa más de lo que parece

Ik″ es un valor eficaz. Dimensiona el corte del interruptor (Icu, Ics) y el esfuerzo térmico de los conductores. El pico ip dimensiona otra cosa: las fuerzas mecánicas, proporcionales al cuadrado de la corriente instantánea. Tres verificaciones dependen de él:

• Poder de cierre del interruptor (Icm). El interruptor que cierra sobre una falla debe soportar el primer pico. La IEC 60947-2 vincula Icm con Icu mediante una relación n que depende del nivel de corriente — para 20 kA < Icu ≤ 50 kA, n = 2,2, con factor de potencia de ensayo 0,2.
• Cresta admisible de barras y conjuntos (Ipk). La IEC 61439-1 exige que el conjunto declare una corriente admisible de cresta asignada, que debe cubrir el ip en la barra.
• Soportes, aisladores y uniones de ducto de barras, cuya carga electrodinámica la define ip, no Ik″.

Un tablero puede pasar la verificación de Icu y aun así fallar en el pico cuando el X/R de la red es mayor que el X/R con el que se ensayó el interruptor. Es lo que ocurre en el ejemplo resuelto más abajo.

De dónde sale κ: la componente continua

Cuando ocurre una falla en un circuito inductivo, la corriente no puede saltar instantáneamente. Por eso la corriente de falla arranca con una componente continua (DC) que decae con la constante de tiempo del circuito, τ = L/R = X/(ωR). El primer pico suma la cresta de CA (√2·Ik″) con lo que queda de esa componente después de aproximadamente medio ciclo.

• Con R/X = 0 (reactancia pura), la componente continua no decae y el pico llega al doble de la cresta de CA: κ = 2,0.
• Con un circuito puramente resistivo no hay desplazamiento: κ tiende a 1,02 (el piso de la fórmula).
• Todo lo intermedio lo cubre el término exponencial e^(−3R/X), que es el ajuste de la IEC 60909 a la curva exacta del transitorio de un circuito R-L serie.

Mayor X/R significa decaimiento más lento, primer pico mayor y κ mayor.

κ para relaciones R/X típicas

Los valores siguientes salen directamente de κ = 1,02 + 0,98·e^(−3R/X):

κ = 1,8 corresponde a R/X ≈ 0,076 (X/R ≈ 13,1). κ = 2,0 es el techo teórico.

Ejemplo resuelto: red de 500 MVA, transformador de 1000 kVA, tablero de 440 V

Las entradas son las del caso A de la batería de verificación de LOGOS contra pandapower:

• Red de la compañía: S″kQ = 500 MVA en 13,8 kV, X/R = 10.
• Transformador: Sr = 1000 kVA, uk = 6 %, X/R = 6, secundario 440 V.
• Falla: trifásica, en la barra de 440 V, caso máximo (c = 1,05, sistema de BT con tolerancia de +6 %).

Todas las impedancias se refieren a U = 440 V.

1 — Impedancia de la red. La fuente está en media tensión, por lo que usa cQ = 1,10:

Z_Q = cQ · U² / S″kQ = 1,10 · 440² / 500 MVA = 0,4259 mΩ
R_Q = 0,0424 mΩ   X_Q = 0,4238 mΩ   (X/R = 10)

2 — Impedancia del transformador y K_T.

Z_T = uk · U² / Sr = 0,06 · 440² / 1000 kVA = 11,616 mΩ
R_T = 1,9097 mΩ   X_T = 11,4580 mΩ   (X/R = 6)
x_T = uk · X/Z = 0,06 · 6/√37 = 0,0592 pu
K_T = 0,95 · cmax / (1 + 0,6 · x_T) = 0,95 · 1,05 / (1 + 0,6 · 0,0592) = 0,9633
Z_TK = K_T · Z_T → R = 1,8396 mΩ, X = 11,0374 mΩ

3 — Impedancia equivalente y R/X.

R_k = 0,0424 + 1,8396 = 1,8819 mΩ
X_k = 0,4238 + 11,0374 = 11,4612 mΩ
Z_k = 11,6147 mΩ   →   R/X = 0,1642   (X/R = 6,09)

4 — Ik″, κ e ip.

Ik″ = c · U / (√3 · Z_k) = 1,05 · 440 / (√3 · 11,6147 mΩ) = 22,97 kA
κ   = 1,02 + 0,98 · e^(−3 · 0,1642) = 1,619
ip  = 1,619 · √2 · 22,97 = 52,58 kA

La corriente mínima de la misma barra (cmin = 0,95, sin K_T, fuente con cQmin = 1,00) es Ik″mín = 20,11 kA.

Estos números salieron del mismo módulo IEC 60909 que ejecuta el cálculo de cortocircuito de LOGOS en producción. Para este caso, pandapower 3.5.4 (calc_sc, IEC 60909, ip=True) devuelve Ik″ = 22,965 kA e ip = 52,576 kA — los mismos valores hasta el tercer decimal. La comparación, con otros cuatro casos, está documentada en la página de validación.

Qué significa el resultado para el equipo. El tablero necesita un poder de corte superior a 22,97 kA, así que el siguiente valor normalizado es Icu = 25 kA. Con n = 2,2, ese interruptor tiene Icm = 55 kA, frente a un ip de 52,58 kA: pasa, con 4,6 % de margen. Note por qué el margen es estrecho: el interruptor se ensayó con factor de potencia 0,2 (X/R ≈ 4,9), y esta barra tiene X/R = 6,09. La barra debe declarar Ipk ≥ 52,6 kA.

Si se suman 3.000 A de corriente de rotor bloqueado de motores en marcha, el panorama cambia: I″kM = 1,05 · 3,0 kA = 3,15 kA, el pico de los motores usa su propio κM = 1,3, e ip sube a 58,37 kA — por encima de los 55 kA de poder de cierre, con Ik″ (26,12 kA) también por encima de los 25 kA de Icu.

Redes malladas: métodos A, B y C

El enfoque de lazo único anterior es exacto para una red radial, donde todos los elementos entre la fuente y la falla están en serie. Cuando la falla se alimenta a través de una red mallada, la impedancia equivalente proviene de una reducción compleja de la red, y su R/X ya no describe el transitorio de cada rama. La IEC 60909-0 ofrece tres maneras de obtener κ en ese caso:

• Método A — relación uniforme. κ se toma del menor R/X (mayor X/R) entre las ramas relevantes: las que conducen corrientes parciales de cortocircuito en el nivel de tensión de la falla y los transformadores adyacentes a la falla. Simple y normalmente conservador.
• Método B — relación en el punto de falla. κ_b se calcula con el R/X de la impedancia equivalente Z_k en la falla y se multiplica por 1,15 para cubrir el error de esa reducción: κ = 1,15·κ_b. El producto no necesita superar 1,8 en BT ni 2,0 en MT/AT, y el factor 1,15 no es necesario si R/X se mantiene por debajo de 0,3 en todas las ramas.
• Método C — frecuencia equivalente. La red se resuelve de nuevo con las reactancias a una frecuencia equivalente fc = 20 Hz para sistemas de 50 Hz (24 Hz para 60 Hz). Con Z_c = R_c + jX_c de esa corrida, R/X = (R_c/X_c)·(fc/f), y κ sale de la fórmula habitual. El método C es el más preciso de los tres y es el que suelen implementar los programas de análisis de redes.

Aplicado al caso resuelto solo como ilustración, el método B daría 1,15 · 1,619 = 1,862, limitado a 1,8 en BT — ip = 58,46 kA en lugar de 52,58 kA. En un circuito radial ese 11 % es margen puro, y por eso la norma reserva el método B para redes malladas.

Errores comunes

1. Usar el X/R del transformador en lugar del R/X equivalente. En bornes del transformador la diferencia aquí es pequeña (κ = 1,614 frente a 1,619), porque el transformador domina. Después de un cable, no: con 30 m de 3 × (1 × 240 mm²), el X/R equivalente baja a 4,65, κ a 1,534 e ip a 46,15 kA; usar el X/R = 6 del transformador da 48,56 kA (+5 %). Después de 100 m, X/R = 3,21, κ = 1,405 e ip = 35,83 kA, frente a 41,16 kA con el valor del transformador (+15 %).
2. Olvidar K_T. La IEC 60909-0:2016 (6.3.3) aplica el factor de corrección K_T a los transformadores de red en el caso máximo. Sin él, el ejemplo da Ik″ = 22,15 kA en lugar de 22,97 kA — 3,5 % por debajo, del lado inseguro. K_T no se aplica al caso mínimo.
3. Confundir ip con √2·Ik″. √2·Ik″ es la cresta de la corriente simétrica: 32,48 kA en el ejemplo. El pico real es 52,58 kA. Omitir κ subestima el esfuerzo mecánico en 38 %.
4. Usar κ = 1,8 (o 2,0) fijo. Sirve como cota superior rápida en muchos tableros de BT, pero sobredimensiona Icm e Ipk donde el X/R es moderado (+11 % en el ejemplo) y puede quedar del lado inseguro donde el X/R supera 13 — barras de MT cerca de transformadores grandes o generadores.
5. Poner X/R en el exponente. La fórmula usa R/X. Con X/R = 6,09 en el exponente, κ ≈ 1,02 e ip baja a 33,1 kA — 37 % por debajo del pico real, del lado inseguro.
6. Aplicar el κ de la red a la contribución de motores. Los motores tienen su propia relación de impedancia: la IEC 60909-0 da R_M/X_M = 0,42 (κ_M = 1,3) para grupos de motores de BT y 0,10 (κ_M = 1,75) o 0,15 (κ_M = 1,65) para motores de MT, según la potencia por par de polos. En red radial, los picos parciales se suman.

Qué hace el cálculo de cortocircuito de LOGOS, y qué no hace

La calculadora de cortocircuito de LOGOS arma el camino de impedancias desde la barra elegida hasta la fuente de la compañía — Skq de la red, transformadores con K_T, cables referidos a la tensión de la barra — y devuelve Ik″ (máximo y mínimo), ip con κ calculado a partir del R/X equivalente, y las corrientes bifásica y fase-tierra. Con la contribución de motores activada, LOGOS suma I″kM = c·ΣI_RB de los motores alimentados desde esa barra, con κ_M = 1,3 en BT y 1,75 en MT, y suma los picos parciales. La física corre en una función versionada en el servidor; la memoria de cálculo se exporta en Word (.docx).

Lo que LOGOS no hace:

• Redes malladas. El camino es radial; los métodos A, B y C no están implementados. Para anillos, transformadores en paralelo con secundarios interconectados o MT mallada, use un programa de análisis de redes.
• Fallas cercanas a generadores. La fuente se modela como acometida de la compañía (falla alejada de generador). La generación local y el decaimiento de la componente de CA no se modelan.
• Corrientes que decaen para el corte. La contribución de motores entra con su valor inicial; los factores μ y q de la corriente de corte Ib, la componente continua i_DC en un instante dado y la corriente térmica equivalente I_th no se calculan. Es conservador para el poder de corte, pero no es un estudio en el dominio del tiempo.
• Cables de los motores. Se desprecia la impedancia entre la barra y los motores conectados en tableros intermedios, lo que sobrestima su contribución.

La comparación con pandapower cubre el lado de la red (Ik″, ip, corrientes bifásica y mínima); la contribución de motores sigue la expresión simplificada de la norma y no forma parte de ese benchmark. Como toda herramienta de cálculo, el resultado apoya el criterio del ingeniero; la responsabilidad técnica del proyecto sigue siendo de quien lo firma.