Dimensionamiento de red de bombeo multirramal con solución por Newton-Raphson

El problema de la red ramificada

Cuando una sola bomba alimenta varios puntos de consumo a la vez, surge un problema que el dimensionamiento de un tramo aislado no captura: los caudales de los ramales son interdependientes. Abrir o cerrar un ramal cambia la presión en el nudo de derivación, y ese cambio redistribuye el caudal entre todos los demás. No existe “el caudal del ramal 3” calculable de forma aislada — existe un estado de equilibrio de la red entera que hay que encontrar de una sola vez.

La intuición común — dividir el caudal de la bomba por igual, o en proporción al área de las tuberías — está equivocada. El caudal se reparte según la resistencia hidráulica de cada camino: los ramales cortos, anchos y en cota baja conducen más; los ramales largos, estrechos y altos conducen menos. Lo que es igual entre ellos no es el caudal, es la presión en el punto donde se derivan.

Los dos principios físicos

La solución descansa sobre dos pilares clásicos, los mismos de la hidráulica de redes de abastecimiento:

• Conservación de masa en los nudos. En todo nudo interno, la suma de los caudales que entran iguala a la suma de los que salen (Σ Q_entra = Σ Q_sale). Es la versión hidráulica de la 1ª ley de Kirchhoff. El fluido incompresible no se acumula.
• Conservación de energía en los tramos. A lo largo de cada tubería, la altura piezométrica cae por la pérdida de carga de Darcy-Weisbach: h_f = f·(L/D)·(v²/2g) + ΣK·(v²/2g). El factor de fricción f sigue el método de Colebrook-White (Serghides en régimen turbulento, laminar por debajo de Re 2000, transición cúbica entre ambos).

El nudo complica el problema: como h_f ∝ Q², las ecuaciones son no lineales. No hay fórmula cerrada para el reparto de los caudales. Por eso necesitamos un método iterativo.

Cómo resuelve la red Newton-Raphson

El solver arma un vector de incógnitas con el caudal de cada tramo y un vector de residuos F(Q) que reúne todas las ecuaciones que deben cumplirse en el equilibrio:

1. Residuos de continuidad — uno por nudo interno: Σ Q_entra − Σ Q_sale. Cuando vale cero, la masa se conserva allí.
2. Residuos de presión — uno por ramal terminal: H_nudo(Q) − (z + P_min). Cuando vale cero, el consumidor recibe exactamente la presión exigida.

En cada iteración, el algoritmo:

1. Propaga la altura desde la bomba: H_salida = z_nivel + H_bomba(Q_tot) − h_succión(Q_tot), y baja por la red restando la pérdida de cada tramo hasta cada consumidor. La curva de la bomba H_bomba(Q) proviene de un ajuste de Lagrange en 3 puntos del catálogo.
2. Evalúa los residuos F(Q) con los caudales actuales.
3. Arma el jacobiano J = ∂F/∂Q por diferencia finita central, perturbando cada caudal hacia arriba y hacia abajo.
4. Resuelve el paso de Newton J·ΔQ = −F por eliminación de Gauss con pivoteo parcial y actualiza los caudales.
5. Amortigua el paso (line-search): si el paso completo no reduce la norma de los residuos, se reduce el factor hasta que la reduzca — garantiza robustez cuando la estimación inicial está lejos.

La iteración se detiene cuando ‖F‖ < 1e-7, lo que suele ocurrir en 5 a 15 pasos. Como Q_total es una de las incógnitas, la bomba se desliza por su propia curva durante la convergencia: el punto de operación real no se impone, emerge de la solución conjunta de bomba y red.

Ramales inalcanzables y balanceo

No todo ramal recibe caudal. Si un consumidor está demasiado alto o lejano para la altura disponible, la solución tendería a un caudal negativo — físicamente imposible. El solver detecta esos ramales (caudal que cae casi a cero), los marca como inalcanzables y rehace el equilibrio con los ramales restantes, en lugar de producir un resultado sin sentido. Esto señala, en la práctica, que la bomba es insuficiente o que ese punto necesita su propio booster.

En el otro extremo está el ramal privilegiado, que “roba” caudal a los demás. La corrección es el balanceo hidráulico: introducir una pérdida localizada deliberada — una placa de orificio o válvula de balanceo — en el ramal favorecido, dimensionada (mediante su K) para disipar el exceso de presión y empujar el caudal de vuelta a los ramales desfavorecidos. El resultado es una red donde cada punto recibe el caudal de proyecto, no el que el azar de la geometría entregaría.

Consideraciones prácticas de proyecto

• El cuello de botella dicta la TDH. La altura manométrica de la bomba la gobierna el ramal más desfavorable (alto, largo, estrecho), no el promedio. Dimensiona la bomba para garantizar presión mínima en él.
• Velocidades de referencia: mantén la línea principal entre 1,5 y 3,0 m/s y los ramales entre 1,0 y 2,5 m/s — controla pérdida, ruido y golpe de ariete.
• La pérdida de la principal es compartida: depende de la suma de los caudales de los ramales. Por eso no se puede dimensionar ramal a ramal de forma independiente.
• La cota importa tanto como la longitud: dos ramales con la misma tubería, pero en cotas diferentes, reciben caudales diferentes — la energía geométrica entra directo en el balance.
• Reevalúa al cambiar la configuración: encender/apagar ramales cambia Q_total, desplaza el punto de operación de la bomba y redistribuye todo. El cálculo debe rehacerse, no escalarse.

En resumen: dimensionar una red multirramal es encontrar el estado de equilibrio en el que la masa se conserva en cada nudo y la energía se conserva en cada tubería, simultáneamente. Newton-Raphson entrega ese estado — caudal de cada ramal, presión de cada nudo y punto de operación real de la bomba — y revela dónde es necesario el balanceo para que el proyecto haga lo que promete.